Modellordnungsreduktion mechanischer Systeme
Bei der Untersuchung mechanischer Systeme ist häufig insbesondere deren Schwingungsverhalten von gesteigertem Interesse. Daher sind die meisten Finite Elemente Modelle (FEM) dieser Systeme von zweiter differentieller Ordnung, wodurch die meisten Standard-Modellreduktionsverfahren nur indirekt anwendbar sind und dann im allgemeinen reduzierte Modelle erster Ordnung liefern. Für die Erstellung reduzierter Modelle zweiter Ordnung ist es daher nötig diese Verfahren neu zu formulieren und effiziente Löser und Algorithmen zu entwickeln und deren Eigenschaften zu untersuchen.
Matrixgleichungen verschiedener Art spielen eine zentrale Rolle in einer Vielzahl von Anwendungen. Bei der optimalen Steuerung wird etwa der linear-quadratische Regler durch eine Zustandsrückführung implementiert, die durch die Lösung einer Riccati-Gleichung bestimmt ist. Die Gramschen Matrizen eines linear Zeitinvarianten Systems sind die Lösungen von zwei adjungierten Lyapunov-Gleichungen. Riccati-, Lyapunov- und Sylvester-Gleichungen spielen eine wichtige Rolle in veschiedensten Modellreduktionstechniken für zeitkontinuierliche lineare dynamische Systeme. Zu allen diesen Gleichungen gibt es Gegenstücke in diskreter Zeit, wie beispielsweise die bekannte Stein-Gleichung. Darüberhinaus können Krylov-Unterraum- und Eigenwertmethoden zu Sylvester-Gleichungen assoziiiert werden.