Numerische Lineare und Multilineare Algebra

Wir beschäftigen uns mit numerischen Methoden für lineare und nichtlineare Eigenwertprobleme. Dies umfasst die Entwicklung und Analyse neuer Algorithmen, deren (Rückwärts-) Fehleranalyse, sowie die Herleitung der zugehörigen (relativen) Störungstheorie. Unser besonderes Interesse liegt bei linearen, verallgemeinerten und polynomialen Eigenwertproblemen mit spektralen Symmetrien. Wichtige Klassen solcher Probleme sind:

  • Lineare Eigenwertprobleme für Hamiltonische und symplektische Matrizen,
  • verallgemeinerte Eigenwertprobleme für schief-Hamiltonische/Hamiltonische, gerade und positiv definite Matrixpaare, sowie
  • gerade, gyroskopische oder hyperbolische polynomiale Eigenwertprobleme.

Solche Probleme kommen oft in der System-, Regelungs- und Stabilitätstheorie, der FE Analyse von (Ecken-)Singularitäten, diskreten Approximationen der Schrödinger-gleichung wie, z.B. bei den Hartree-Fock- und Bethe-Salpeter-Gleichungen, sowie in vielen anderen Anwendungsbereichen, vor. Eine weitere wichtige Klasse strukturierter Eigenwertprobleme, die das NLMA Team untersucht, behandelt Matrizen and Matrixpaare mit Rangstruktur. Dies beinhaltet insbesondere H- und H2-Matrizen, die aus der FEM und BEM Diskretisierung von PDE Eigenwertproblemen stammen, aber auch Matrizifizierungen von Tensorgleichungen, z.B. bei der Berechnung von Elektronenstrukturen.

Darüberhinaus beschäftigen wir uns mit der Lösung spezieller linearer Gleichungssysteme, die z.B. bei Steuerungs-, Regelungs- und Optimierungsproblemen für PDEs oder in Modellreduktionsmethoden auftreten. Insbesondere untersuchen wir folgende Themenkomplexe:

  • Recyclingtechniken bei Krylovraumverfahren für Gleichungssysteme mit mehreren rechten Seiten und konstanter (oder langsam variierender) Koeffizientenmatrix,
  • Vorkonditionierung von Sattelpunktproblemen, und
  • Tensortechniken für hochdimensionale Probleme wie z.B. stochastische Galerkin-Systeme.

Projekte

Partner: Thomas Richter (Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg)
Gefördert durch: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), DFG-GRK 2297
Förderperiode: 2017-2021
Kontakt: Peter Benner
Projektbeschreibung: MathCoRe steht für Mathematische Komplexitätsreduktion - ein Graduiertenkolleg (GRK), das an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg (OvGU) angesiedelt ist. Das Graduiertenkolleg ist ein von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) gefördertes Graduiertenkolleg (DFG-GRK 2297). Unter der Leitung der Fakultät für Mathematik (FMA) wird es in Kooperation mit der Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik (FEIT) und dem Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer technischer Systeme (MPI) betrieben.

Die Kombination von Expertise aus verschiedenen mathematischen Bereichen unter dem Thema Komplexitätsreduktion verleiht dem Graduiertenkolleg ein einzigartiges Profil, das das wissenschaftliche Verständnis der im Kolleg graduierenden Nachwuchswissenschaftler gezielt prägt. Ein wesentliches Ziel unserer Philosophie ist es, die Doktoranden an Projekten arbeiten zu lassen, die mehrere mathematische Gebiete miteinander verbinden und sie von der Betreuung durch zwei Principal Investigators mit unterschiedlichem mathematischen Hintergrund profitieren zu lassen. mehr

Tensor-Methoden für maschinelles Lernen

Partner: Martin Stoll (TU Chemnitz), Sergey Dolgov (U Bath)
Gefördert durch: IMPRS-ProEng
Kontakt: Peter Benner, Kirandeep Kour
Projektbeschreibung: Tensorzerlegungsmethoden mit niedrigem Rang sind die entscheidenden Algorithmen, um die Rechenkosten zu reduzieren und gleichzeitig die wichtigen Informationen und die Struktur der mehrdimensionalen Daten zu erhalten. Daher entwickeln wir in diesem Projekt neue Tensor-Methoden, um effiziente und stabile Machine-Learning-Modelle zu erstellen (tensorisierte Kernel-Methoden). Hauptsächlich konzentrieren wir uns dabei auf die Themen "Generalisierung" und "Stabilität" in SciML.

Strukturierte (Hamiltonische, gerade) Eigenwertprobleme

Partner: Heike Faßbender, Philip Saltenberger (TU Braunschweig), Federico Poloni (U Pisa), Yuji Nakatsuksa (U Oxford), Vasile Sima (ICI Bucarest), Carolin Penke
Gefördert durch: MPI DyktS
Kontakt: Peter Benner
ProjektbeschreibungStrukturierte Eigenwertprobleme stehen im Mittelpunkt verschiedener Anwendungen in Wissenschaft und Technik. Hierzu gehören Modellordnungsreduktion, Regelungstechnik und die Berechnung der elektronischen Struktur physikalischer Materialien. Unser Ziel ist es, vorhandene Strukturen auszunutzen und so effizientere und genauere Algorithmen zu entwickeln. 

Effiziente Löser für die Bethe-Salpeter-Gleichungen

Partner: Andreas Marek, Markus Rampp (MPCDF Garching), Claudia Draxl (HU Berlin), Chao Yang (Berkeley Labs, CA), Heike Faßbender (TU Braunschweig), Carolin Penke
Gefördert durch: MPI DyktS, MPI MIS and MPCDF
Förderperiode: MPI DyktS, MPI MIS (2018-2020) und MPCDF (2017-2020)
Kontakt: Peter Benner
ProjektbeschreibungAb Initio Spektroskopie hat das Ziel, optische Eigenschaften neuartiger Materialien zu berechnen, ohne dass empirische Versuche notwending sind.  Ein moderner Ansatz nutzt die Bethe-Salpeter Gleichung, die aus der Mehrkörper-Störungstheorie hergeleitet wird und die Ausbreitung von Elektron-Loch-Paaren beschreibt. Wir entwickeln Lösungsansätze um die resultierenden großen Eigenwertprobleme auf Hochleistungsrechnern zu behandeln.

Customized Numerical Linear Algebra and Optimization for Vibrating Systems

Partner: Zoran Tomljanović (University of Osijek), Davide Palitta (University of Bologna)
Gefördert durch: DAAD
Kontakt:
Jennifer Przybilla, Tim Mitchell, Jens Saak, Peter Benner
Projektbeschreibung: Die Auswahl der Dämpferpositionen und der zugehörigen Viskositäten ist eine sehr anspruchsvolle Aufgabe bei der Optimierung von schwingenden Systemen. Eine der Hauptschwierigkeiten ist der Umgang mit den teuren Eigenwertproblemen und Matrixgleichungen, die in dieser Umgebung auftreten.  Unser Ziel ist es, neuartige und effiziente Algorithmen zu entwickeln, indem wir spezielle Techniken der numerischen linearen Algebra nutzen. Durch die Transformation der Probleme in Offline- und Online-Phasen konnten wir zum Beispiel neue Algorithmen entwickeln, deren Gesamtkosten deutlich geringer sind als die anderer Verfahren.

Communication-Avoiding Low-Rank Tensor Computations

Partner: Grey Ballard (Wake Forest University), Hussam Al Daas (Universität Oxford)
Gefördert durch: MPI DyktS
Kontakt: Peter Benner
Projektbeschreibung: In diesem Projekt sind wir daran interessiert, hoch skalierbare und robuste parallele Algorithmen und Solver für Low-Rank-Tensorberechnungen zu entwickeln und bereitzustellen.

Partner: Peter Benner (MPI Magdeburg, OVGU), Sebastian Sager (OVGU),  Kai Sundermacher ( MPI Magdeburg, OVGU), Martin Stoll (TU Chemnitz) 
Industriepartner:  AVACON und BASF 
Gefördert durch: BMBF
Kontakt: 
Peter Benner, Shaimaa Monem  
 

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Große dichtbesetzte Eigenwertprobleme

Gefördert durch: MPI DyktS
Kontakt: Martin Köhler, Peter Benner
Projektbeschreibung: Viele Simulations- und Modellierungsaufgaben führen zu großen Eigenwertproblemen. Obwohl die meisten von ihnen dünnbesetzt sind und mit geeigneten iterativen Lösern behandelt werden können, werden einige von ihnen durch dichtbesetzte Matrizen beschrieben. Aufgrund der Laufzeitkomplexität von Standard-Eigenwertlösern für dichtbesetzte Matrizen werden diese Probleme oft als unlösbar für große Dimensionen angesehen. In diesem Projekt zielen wir auf die Entwicklung von Matrixfunktionsbasierten Divide-and-Conquer-Algorithmen für die Lösung von großen und dichten Eigenwertproblemen ab. Wir verwenden skalierbare Level-3-BLAS-Matrixoperationen als Hauptbausteine, sodass eine Beschleunigung mit GPUs leicht möglich ist.

Abgeschlossene Projekte

Advanced Krylov Subspace Methods 

Partner:  Valeria Simoncini (Università di Bologna), Stefano Massei (Eindhoven University of Technology), Daniel Kressner (EPFL), Kathryn Lund (Charles University)
Gefördert durch: MPI DyktS
Kontakt: Davide Palitta (2018-2021, aktuell: University of Bologna, Italien)
Projektbeschreibung: Krylov-Unterraum-Methoden sind einer der klassischsten und leistungsfähigsten Algorithmen in der numerischen linearen und multi-linearen Algebra. Ihr Anwendungsbereich reicht von der Lösung von Eigenwertproblemen und algebraischen Gleichungen wie linearen Systemen, Matrix- und Tensorgleichungen bis hin zur numerischen Auswertung von Matrixfunktionen. Hier konzentrieren wir uns hauptsächlich auf die neue Generation von Krylov-Unterraum-Methoden, nämlich erweiterte und rationale (Block-)Krylov-Routinen, die als Spezialfall die Standard-(Block-)Polynom-Krylov-Methoden beinhalten. Wir wenden diese Methoden auf eine Vielzahl von algebraischen Problemen an. Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf der Lösung großer Matrixgleichungen, die z.B. bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen und als Zwischenschritte innerhalb bestimmter Modellordnungsreduktionsverfahren auftreten.

Regularization of the Poisson-Boltzmann Equation by the Range-Separated Tensor Format

Partner: Boris Khoromskij (MPI, Leipzig), Venera Khoromskaia (MPI, Leipzig)
Gefördert durch: MPI DyktS
Kontakt: Peter Benner, Cleophas Kweyu ((2014-2019, aktuell: Moi University, Kenia)

Eigenwertprobleme mit Rangstruktur

Partner: Steffen Börm (CAU Kiel), Boris Khoromskii (MPI MIS), Thomas Mach (KU Leuven), Chao Yang (Berkeley Lab, CA), Sergey Dolgov (U Bath, UK)
Gefördert durch: MPI DyktS, MPI MIS
Kontakt: Peter Benner, Venera Khoromskaia

Numerische Methoden für nichtlineare Eigenwertprobleme

Partner: Ninoslav Truhar, Suzana Miodragović (J.J. Strossmayer University Osijek)
Gefördert durch: DAAD PPP (Kroatien)
Kontakt: Peter Benner, Xin Liang (2014-2016, aktuell: Tsinghua University, Beijing, P.R.China), Cleophas Kweyu (2014-2019, aktuell: Moi University, Kenia)

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