Complex Systems • Mathematics

Research report (imported) 2012 - Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems

Kompakte Modelle zur Simulation, Steuerung, Regelung und Optimierung komplexer dynamischer Systeme

Compact models for simulation, control and optimization of complex dynamical systems

Authors

Benner, Peter

Departments

Systemtheoretische Grundlagen der Prozess- und Bioprozesstechnik (Peter Benner)

Modellreduktion beschleunigt die Computersimulation dynamischer Systeme erheblich, sie ermöglicht oft erst deren Steuerung, Regelung oder Optimierung und wird damit zu einem immer wichtigeren Instrument der computergestützten Wissenschaften. Dabei wird das mathematische Modell eines dynamischen Prozesses durch ein kompaktes Modell ersetzt, durch dessen Simulation Aussagen über die interessierenden Eigenschaften des Prozesses gewonnen werden können. Wir geben hier eine kurze Einführung in die Modellreduktion dynamischer Systeme und demonstrieren deren Potenzial anhand realer Anwendungsprobleme.
Model reduction significantly accelerates the computer simulation of dynamical systems. It facilitates or even enables their control and optimization. Thus, model reduction is becoming more and more an indispensable tool in computational sciences and engineering. The mathematical model of the dynamical process is replaced by a compact model. Simulating the compact model is then often sufficient to obtain the quantities of interest of the process. We will give a brief introduction into the model reduction of dynamical systems and illustrate its potential using some engineering applications.

In silicio Experiment und Design

Eine bald schon überstrapazierte Aussage aus den computergestützten Wissenschaften besagt, dass die Computersimulation sich als dritte Säule des Erkenntnisgewinns neben Experiment und Theorie etabliert hat (siehe z. B. [L1]). In Anlehnung an die in der biochemischen Forschung gebräuchlichen Begriffe der in vivo ("am lebenstüchtigen Organismus") oder in vitro ("im Reagenzglas") Experimente spricht man auch immer häufiger vom in silicio "Experiment" (da Computerchips heutzutage meist auf Silizium-Basis gefertigt werden). Neben der reinen Simulation eines naturwissenschaftlichen oder ingenieurtechnischen Vorgangs (oder auch biomedizinischer, sozial- und wirtschaftswissenschaftlicher Prozesse u. v. m.), tritt dabei immer mehr die Optimierung und der Entwurf des Prozesses in den Vordergrund ("in silicio Design"). Bei zeitveränderlichen (instationären), also dynamischen Prozessen ist insbesondere deren Beeinflussung durch Regelung und Steuerung, um in vorgegebener Zeit einen gewünschten Zustand zu erreichen, von großer Bedeutung. Zur Durchführung eines Computerexperiments benötigt man aber zunächst ein mathematisches Modell, welches in der Regel anhand theoretischer und/oder bereits vorhandener experimenteller Erkenntnisse im Zusammenspiel von Naturwissenschaftlern, Mathematikern und Ingenieuren erstellt wird. Soll ein Regler oder eine Steuerung entworfen werden, oder aber ein Prozess oder Design optimiert werden, benötigt dieses Modell einen oder mehrere Parameter bzw. Eingangssignale, mit deren Hilfe das Verhalten des Prozesses beeinflusst werden kann.

Systemtheoretische Modellbildung

Betrachtet man nun dynamische Vorgänge und beschreibt diese als System im Sinne der (mathematischen) Systemtheorie, so besteht das mathematische Modell aus einer Zustands- und einer Ausgangsgleichung. Mit der Zustandsgleichung beschreibt man das dynamische Verhalten der Zustandsgröße (also z. B. der Temperatur eines Bauteils, die auftretenden mechanischen Spannungen und Deformationen eines elastischen Körpers, die Konzentrationen von in einer Flüssigkeit gelösten Substanzen, etc.). Dabei handelt es sich um ein System gewöhnlicher oder partieller Differenzialgleichungen, welches oft algebraischen Nebenbedingungen unterliegt, was zu differenzial-algebraischen Systemen führt – in der Systemtheorie Deskriptorsysteme genannt. Eingangssignale wie z. B. äußere Kräfte, Kühlung am Rand eines Bauteils/Körpers oder einer Strömung, werden dabei oft durch Inhomogenitäten in der Zustandsgleichung beschrieben, aber auch nichtlineare Kopplungen zwischen Eingängen und Zuständen treten häufig auf. Die Ausgangsgleichung liefert eine modellhafte Beschreibung dessen, was man dem System "von außen" ansehen kann, also welche Beobachtungen des Systems und Messwerte in der realen Praxis tatsächlich vorliegen. Sind sowohl Zustands- als auch Ausgangsgleichung linear-affin, so spricht man von einem linearen, sonst von einem nichtlinearen, System. Parameter können dabei sowohl in der Zustands- als auch Ausgangsgleichung auftreten und beschreiben z. B. Material- oder Geometrieeigenschaften wie Dichte, Wärmekapazität oder elektrische Leitfähigkeit bzw. die Krümmung der Berandung eines Körpers oder die Breite von Leiterbahnen.

Verwendet man zum in silicio Experiment oder Design nun ein mathematisches System, dessen Dynamik zumindest in Teilen durch eine partielle Differenzialgleichung beschreiben wird, so benötigt man zunächst eine örtliche Diskretisierung, oft durch "finite Elemente (FE)", aber auch andere Varianten wie Wavelets, finite Differenzen oder Volumen können Verwendung finden. Dies führt dann, insbesondere in dreidimensionalen (3D) Berechnungsgebieten, zu sehr großen Systemen von gewöhnlichen differenzial-(algebraischen) Gleichungen, so dass die Anzahl der das System beschreibenden Zustandsgrößen (die Dimension des Systems oder Modells) in die Hunderttausende oder Millionen, inzwischen sogar weit in die Milliarden gehen kann. Die einmalige Simulation eines solchen mathematischen Modells ist durch die zahlreichen Fortschritte in der Computertechnik der letzten 50 Jahre, aber vornehmlich in den numerischen Algorithmen, je nach Komplexität des Modells heutzutage in wenigen Minuten bis einigen Stunden auf modernen Desktopcomputern möglich. Erreicht man nach Moore’s Law in 10 Jahren etwa eine Beschleunigung der Berechnung um den Faktor 100 durch Verbesserung der Computerhardware, so hat in vielen Bereichen die Verbesserung von Algorithmen oder die Entwicklung neuartiger Algorithmen zu einer Beschleunigung um Faktoren von 1.000 oder gar 10.000 geführt, siehe Abschnitt "Beispiele".

Erfordert eine Parameterstudie oder die Variation der Eingangssignale eine mehrfache Simulation, so ergibt sich daraus jedoch ein Zeitbedarf, der in vielen Anwendungsbereichen z. B. aufgrund der Entwicklungszyklen eines Produkts oder praktischen Anforderungen, wie z. B. bei der Wettervorhersage, nicht akzeptabel ist. Variiert man beispielsweise ein Modell mit drei Parametern so, dass für jeden Parameter 100 Werte eingestellt werden können (was i. d. R. noch keiner befriedigenden Auflösung des Parameterraums entspricht), so werden bereits eine Million Simulationen notwendig, was bei einem Zeitbedarf von einer Stunde pro Simulation bereits zu einer Berechnungszeit von 496 Jahren führen würde. Dies lässt sich oft durch Verwendung von parallelen Rechnersystemen auf vertretbare Zeiträume reduzieren, eine entsprechende Computerausstattung steht aber längst nicht jedem Naturwissenschaftler oder Ingenieur zur Verfügung, ganz davon abgesehen, dass ein solch massiver Computereinsatz einen nicht mehr vertretbaren Energieeinsatz zur Folge hätte.

Modellreduktion dynamischer Systeme

Eine Möglichkeit, dem Dilemma, entweder nicht ausreichende Zeit- oder Energieressourcen für das in silicio Experiment oder Design zu benötigen, welches insbesondere bei parametrisierten Modellen als Instanz des "curse of dimensionality" verstanden werden kann, zumindest teilweise zu entgehen, bietet die Modellreduktion (MOR), oft auch (Modell-)Ordnungs- oder Dimensionsreduktion genannt. Hierbei wird das Modell durch ein reduziertes oder kompaktes Modell ersetzt, welches die Dynamik des Originalmodells möglichst gut approximiert. Dabei ist es oft nicht nötig, eine gute Approximation aller Zustandsgrößen zu erreichen, sondern lediglich die interessierenden Größen (engl. "quantities of interest") möglichst genau zu erhalten. Dies sollte möglichst für alle zulässigen Eingangssignale und Parametervariationen gelten. Um dies gewährleisten zu können, fordert man i. d. R. dass Eingangssignale und Parameter im kompakten Modell exakt erhalten werden, für die Parameter bedeutet dies, dass sie als symbolische Größe im kompakten Modell erhalten bleiben. Oft betrachtet man dazu die durch das Differenzialgleichungssystem beschriebene Dynamik des Systems als "Black-Box" und versucht, diese "Black-Box" durch ein wesentlich niedriger dimensionales Differenzialgleichungssystem zu approximieren, so dass man für die selben Eingangssignale und Parameter am Ausgang des Systems dieselben Größen erhält (bis auf einen Fehler in der Größenordnung zulässiger Toleranzen). Mathematisch gesprochen versucht man also, den Fehler zwischen den Abbildungen von Eingangssignalen (und Parametern) auf die Ausgangssignale des originalen und kompakten Modells zu minimieren. Dabei kann man entweder die Frage stellen, was die bestmögliche Approximation bzgl. eines vorgegebenen Fehlermaßes bei vorgegebener Dimension des kompakten Modells ist, oder ein kompaktes Modell minimaler Dimension suchen, welches die vorgegebene Fehlertoleranz gerade eben noch einhält.

Die Grundidee der meisten MOR-Methoden beruht nun auf der Annahme, dass sich die realisierbaren Lösungstrajektorien des das System definierenden Differenzialgleichungssystems in einem niedrigdimensionalen Unterraum oder allgemeiner, einer niedrigdimensionalen Mannigfaltigkeit, des Zustandsraums (bzw. des Lösungsraums des Differenzialgleichungssystems) befinden. In diesem Fall kann man eine Projektion auf diesen niedrigdimensionalen Raum finden, so dass zur Lösung des Differenzialgleichungssystems lediglich ein System von Differenzialgleichungen von der Dimension der Mannigfaltigkeit gelöst werden muss. Meistens existiert allerdings keine exakte Mannigfaltigkeit einer solch geringen Dimension, dass eine ausreichende Modellreduktion erreicht werden kann. Es ist aber oft möglich, das Lösungsverhalten durch sehr niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten zu approximieren. Die bekanntesten MOR-Methoden sind die Methoden des modalen oder balancierten Abschneidens, Krylovraum-basierte Verfahren (die auch als Padé-Approximation oder rationale Interpolationsmethoden interpretiert werden können), die Hauptkomponentenanalyse (auch: Karhunen-Loève-Transformation, bei dynamischen Systemen meist als "Proper Orthogonal Decomposition" bezeichnet), die Methode der reduzierten Basen sowie Methoden, die Zentrums- oder Inertialmannigfaltigkeiten benutzen, siehe z. B. [1–6] für Einführungen in die Techniken und Überblicke über die verwendeten Methoden. Bei linearen Modellen sind oft Reduktionsraten von 100 bis zu 100.000 in der Dimension möglich, was meist auch zu entsprechenden Beschleunigungen bei der Simulation führt. Bei nichtlinearen Modellen ist oft schon eine Reduktion der Dimension um einen Faktor 2 zufriedenstellend, Reduktionen um Faktoren 10 bis 100 oder höher sind nur durch sehr effiziente Ausnutzung der Strukturen möglich, oder wenn nur bestimmte Aspekte des dynamischen Verhaltens betrachtet werden. Hier besteht allerdings noch erheblicher Forschungsbedarf.

Aktuelle Arbeiten konzentrieren sich bei linearen Modellen insbesondere auf die Weiterentwicklung der numerischen MOR-Algorithmen hinsichtlich Effizienz (da die Berechnung der kompakten Modelle selbst oft erhebliche Rechenzeit verbraucht) und Strukturausnutzung [7], auf die Entwicklung optimaler Methoden für parametrische Systeme [8] sowie die in der mathematischen Modellierung ingenieur- und naturwissenschaftlicher Phänomene immer wichtiger werdende Einbeziehung stochastischer Effekte [9]. Bei nichtlinearen Modellen untersucht man z. B., inwieweit es möglich ist, kompakte Modelle zu erstellen, die unabhängig vom Eingangssignal sind – die meisten bisher verwendeten Methoden beruhen auf der Verwendung der für bestimmte Trainingssignale berechneten Lösungen und sind damit oft nur sehr lokal einsetzbar. Im folgenden Abschnitt werden einige erfolgreiche MOR Beispiele dargestellt.

Beispiele

Adaptive Optik

In einem gemeinsamen Projekt des Instituts für Systemdynamik der Universität Stuttgart und des MPI für Astronomie in Heidelberg werden Methoden zur adaptiven Korrektur von Differenzen im optischen Strahlengang bei bodengebundenen optischen Teleskopen entwickelt. Als ein Beispiel wird das "Large Binocular Telescope (LBT)" ([L2] für Details) untersucht, das aus zwei symmetrischen Primär- und (adaptiven) Sekundärspiegeln aufgebaut ist. Differenzen der bei symmetrischen Spiegelsystemen eigentlich gleichen optischen Wege des einfallenden Lichts zum Detektor werden durch Schwingungen hervorgerufen, die aufgrund von Windlasten und anderen mechanischen Störungen auftreten. Zur Beschleunigung der computergestützten Vibrationsanalyse der mit 672 Aktuatoren steuerbaren Sekundärspiegel wurde ein reduziertes Modell am MPI in Magdeburg berechnet. Das FE-Modell des adaptiven elastischen sekundären Spiegels des LBT liefert ein lineares zeitinvariantes Regelungssystem zweiter Ordnung (d. h. ein System gekoppelter linearer Differenzialgleichungen, in denen Ableitungen der Zustandsgrößen – hier die Auslenkungen der Spiegeloberfläche – bis zur Ordnung 2 vorkommen) der Dimension 83.508. Dieses System wurde mit einer neuen Implementierung der MOR-Methode des balancierten Abschneidens zweiter Ordnung [7] auf Dimension 300 reduziert. Die einfache Geometrie des Spiegels ermöglicht analytische Darstellungen für die Eigenmoden. Wir betrachten exemplarisch die analytisch berechnete (exakte) Eigenmode zur 12. Eigenfrequenz 55,642 Hz (Abb. 1, links) und vergleichen diese mit der entsprechenden Mode, die mit dem reduzierten Modell berechnet wurde (Abb. 1, rechts) – bei den anderen für die Vibrationsanalyse relevanten Eigenmoden sehen die Ergebnisse ähnlich aus. Abgesehen von einem aufgrund der Rotationssymmetrie nicht aufgelösten rotatorischen Freiheitsgrad ist kein Unterschied zu erkennen, so dass das reduzierte Modell mit der nötigen Zuverlässigkeit das Originalmodell bei der Schwingungsanalyse und dem darauf basierenden Reglerentwurf ersetzen kann. Man beachte, dass dadurch die Berechnungen um den Faktor 100 und mehr beschleunigt werden können und ein Reglerentwurf mit computergestützten Methoden überhaupt erst möglich wird.

Kompakte MEMS-Modelle

<strong>Abb 1: </strong>12. Eigenmode des FE-Modells (Dimension 83.508) des Sekundärspiegels des LBT. Links: Exakt,  rechts: Mit dem reduzierten Model Bild vergrößern
Abb 1: 12. Eigenmode des FE-Modells (Dimension 83.508) des Sekundärspiegels des LBT. Links: Exakt,  rechts: Mit dem reduzierten Modell (Dimension 300) berechnet. Der unterschiedliche Drehwinkel spielt aufgrund der Rotationssymmetrie des Spiegels keine Rolle. [weniger]

Beim computergestützten Entwurf von mikroelektromechanischen Systemen (MEMS) ist der Einsatz von Modellbibliotheken kompakter Modelle von mechanischen und mikroelektronischen Komponenten bereits seit einigen Jahren Stand der Wissenschaft. Daher stammen viele der in der Oberwolfach Model Reduction Benchmark Collection zu findenden Beispiele aus diesem Bereich. Ein anspruchsvolles Modell liefert der Mikrogyroskop, ein Kreiselsensor, wie er z. B. in der Fahrdynamikregelung von PKWs (elektronische Stabilitätsregelung, ESP) verwendet wird. Der Sensor besteht aus zwei Paaren symmetrisch angeordneter gleichgroßer Flügel, die durch einen Steg verbunden sind. Sensorsignale werden aus den Vibrationen der Flügel abgeleitet. Wichtige Parameter sind hierbei die Breite des Stegs, die die Sensitivität der Flügel gegenüber äußeren Anregungen bestimmt, sowie die Winkelgeschwindigkeit der rotatorischen Bewegung. Das untersuchte FE-Modell [L3] der Struktur des Mikrogyroskops wurde mit dem Standardprogramm ANSYS erzeugt und führt zu einem System von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung der Dimension 17.361 mit einem Eingang (angelegte Spannung) und zwölf Ausgängen (Sensordaten) mit o. g. zwei Parametern.

<strong>Abb. 2:</strong> Frequenzantwort des Mikrogyroskops für eine zufällig ausgewählte Frequenz, abgetragen über ein gleichmäßiges Gitter von Param Bild vergrößern
Abb. 2: Frequenzantwort des Mikrogyroskops für eine zufällig ausgewählte Frequenz, abgetragen über ein gleichmäßiges Gitter von Parameterkonfigurationen. Dabei bezeichnet d die Breite des Stegs, σ die Winkelgeschwindigkeit. Links ist das Berechnungsergebnis mit dem Originalmodell (Dimension 17.361), rechts mit dem kompakten Modell (Dimension 289) dargestellt. [weniger]

Mithilfe einer Methode der parametrischen MOR, wie beispielsweise in [8] beschrieben, konnte ein kompaktes Modell der Dimension 289 erstellt werden. Von besonderem Interesse beim Entwurf von MEMS ist oft die Frequenzantwort des Systems bei unterschiedlichen Parameterkonfigurationen, d. h. wie reagiert der Sensor auf Anregungen in den wesentlichen Frequenzbereichen? Basierend darauf kann dann die optimale Einstellung der Parameter für den endgültigen Entwurf vorgenommen werden. Dazu muss das System für eine Vielzahl von Anregungsfrequenzen und Parameterkonfigurationen simuliert werden. In Abbildung 2 ist ein Beispiel einer solchen Simulation dargestellt, wobei für eine festgehaltene Frequenz die Frequenzantwort über ein Gitter von Parameterkonfigurationen aufgetragen ist. Wie man erkennen kann, ist wiederum kein optischer Unterschied zwischen der Simulation mit dem Originalmodell und dem kompakten Modell zu erkennen. Die Erstellung eines "Films", d. h. die Berechnung der entsprechenden Frequenzantworten für 50 verschiedene Frequenzwerte über dem jeweils selben Gitter von Parameterkonfigurationen dauert mit dem Originalmodell etwa 1,5 Tage, mit dem kompakten Modell wenige Minuten (auf dem selben Desktopcomputer).

Ausblick

Die Modellreduktion (MOR) ermöglicht es, die numerische Simulation, Steuerung, Regelung und Optimierung von komplexen dynamischen Systemen erheblich zu beschleunigen, ohne den dafür sonst nötigen energiefressenden Einsatz von Supercomputern. Die aktuelle Forschung beschäftigt sich hier mit weiteren Effizienzsteigerungen der numerischen Algorithmen, aber hauptsächlich mit neuen Verfahren für parametrisierte, stochastische und nichtlineare Systeme. Das ultimative Ziel ist dabei, dass die Komprimierung der Modelle dynamischer Systeme durch die MOR im Bereich der computergestützten Wissenschaften einmal die Wichtigkeit von Kompressionsmethoden wie JPEG in der Bildverarbeitung erreicht und entsprechende Fortschritte im Erkenntnisgewinn durch Einsatz von Computern möglich werden. (Das kompakte Modell entspricht also in etwa der JPEG-Datei, wenn das Originalmodell dem Bild entspricht.) Damit können zukünftig hoffentlich in vielen Bereichen immer mehr gefährliche und teure Experimente in silicio durchgeführt und der theoretische Erkenntnisgewinn durch Computersimulationen noch besser unterstützt werden. Ein wichtiger Aspekt bei Computerexperimenten, bei dem in den kommenden Jahren durch parametrische MOR erhebliche Fortschritte erwartet werden können, ist die Quantifizierung von Unsicherheiten bei Modellen mit ungenauen/stochastischen Parametern, da z. B. Monte-Carlo-Simulationen durch den Einsatz kompakter Modelle um ein Vielfaches beschleunigt werden.

1.
Antoulas, A. C.
Approximation of Large-Scale Dynamical Systems
2.
Benner, P.; Mehrmann, V.; Sorensen, D. C., [Hrsg.]
Dimension Reduction of Large-Scale Systems
3.
Benner, P.; ter Maten, J.; Hinze, M., [Hrsg.]
Model Reduction for Circuit Simulation
4.
Obinata, G.; Anderson, B. D. O.
Model Reduction for Control System Design
5.
Schilders, W. H. A.; van der Vorst, H. A.; Rommes, J., [Hrsg.]
Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications
6.
Rozza, G.; Huynh, D. B. P.; Patera, A. T.
Reduced basis approximation and a posteriori error estimation for affinely parametrized elliptic coercive partial differential equations: application to transport and continuum mechanics
7.
Benner, P.; Kürschner, P.; Saak, J.
Improved second-order balanced truncation for symmetric systems
8.
Baur, U.; Beattie, C.; Benner, P.; Gugercin, S.
Interpolatory Projection Methods for Parameterized Model Reduction
9.
Benner, P.; Damm, T.
Lyapunov Equations, Energy Functionals, and Model Order Reduction of Bilinear and Stochastic Systems
 
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