Informatik • Komplexe Systeme • Materialwissenschaften • Mathematik

Forschungsbericht (importiert) 2016 - Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer technischer Systeme

Iterative Löser für Phasenfeldmodelle

Iterative solvers for phase field models

Autoren

Stoll, Martin

Abteilungen

Fachgruppe „Numerische lineare Algebra für dynamische Systeme”

DOI

10.17617/1.15

Phasenfeldmodelle sind ein wichtiges Instrument, um komplexe Vorgänge zu beschreiben. Die Simulation kann helfen, kostspielige Experimente zu ersetzen oder zu ergänzen. Dabei benötigt die Auswertung dieser Modelle effiziente Algorithmen. Die Forscher um Martin Stoll beschreiben iterative Löser, die mit den diskretisierten Differentialgleichungsmodellen umgehen können und eine akkurate Lösung der Probleme erlauben.
Phase field models are a crucial tool in the modeling of complex phenomena. In this context, simulation can help to avoid or reduce the number of costly experiments. For this it is necessary to work with efficient algorithms. Here, we describe iterative solvers that deal with the discretized differential equation models and thus allow for an accurate solution of the problems.

Die Phasenfeldmethode

Um teure oder schwer durchführbare Experimente zu vermeiden oder deren Anzahl zu reduzieren, sind numerische Simulationen in den letzten Jahrzehnten unabdingbar geworden. Die Beschreibung komplexer physikalischer Vorgänge beruht auf ebenfalls komplexen mathematischen Modellen. Die Auswertung dieser Modelle am Computer muss daher neueste Resultate aus den Computerwissenschaften, der mathematischen Analysis und der numerischen Mathematik verknüpfen. Als besonders erfolgversprechend hat sich in den letzten Jahrzehnten die Simulation mit der Phasenfeldmethode erwiesen, welche ihren Ursprung in den Materialwissenschaften hat [1].

<strong>Abb. 1:</strong> Entmischung simuliert mittels der Cahn-Hilliard Gleichung. Bild vergrößern
Abb. 1: Entmischung simuliert mittels der Cahn-Hilliard Gleichung.

Die Phasenfeldmethode kann unter anderem benutzt werden, um die Entmischung von Zweiphasenlegierungen zu beschreiben. Solche Entmischungsprozesse können in den vielfältigsten Anwendungen gefunden werden, wie zum Beispiel in geschmolzenem Eisen oder Gestein. Ein anderes bekanntes Beispiel, das bereits von dem brillanten Mathematiker John von Neumann [L1] betrachtet wurde, ist die Entwicklung von Zellen in einem zweidimensionalen Schaum. Dabei gilt, dass  Zellen mit weniger als sechs Nachbarn schrumpfen und andere mit mehr als sechs Nachbarn wachsen. Abbildung 1 zeigt eine numerische Simulation des Entmischungsvorgangs mittels der Cahn-Hilliard Gleichung.

Aufgrund der extremen Bedingungen, die erforderlich sind, um geschmolzenes Eisen oder Gestein experimentell zu untersuchen, ist die numerische Simulation dieser Vorgänge von großer Bedeutung. Viele populäre mathematische Modelle können aus der Minimierung der bekannten Ginzburg-Landau Energie abgeleitet werden. Diese Energie besteht aus verschiedenen Termen, die zum einen Phasengrenzen minimieren wollen und zum anderen die Trennung in reine Phasen beschleunigen.

Ein diskretes Problem

Um diese Energie zu minimieren, werden mathematische Modelle mittels eines Gradientenfluss-Ansatzes konstruiert. Dabei nehmen die Forscher an, dass sich die Energie am meisten in Richtung des negativen Gradienten reduziert. Verschieden gewählte Gradienten führen dabei auf verschiedene bekannte Modelle wie die Allen-Cahn oder Cahn-Hilliard Modelle. In nahezu allen Fällen führt dies zu nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.

Mathematische Modelle dieses Typs sind nicht nur schwierig zu analysieren, sondern verlangen auch großes Fingerspitzengefühl bei der numerischen Simulation. Die Gruppe um Martin Stoll befasst sich in ihrer Forschung hauptsächlich mit den aus der Diskretisierung der unendlich dimensionalen Probleme entstehenden großen linearen Gleichungssystemen [2, 3]. Diese entstehen, wenn die kontinuierlichen Modelle zum Beispiel mittels der Methode der finiten Elemente (FE) in diskrete Probleme überführt werden.

Das Simulationsgebiet wird zu diesem Zweck in einfache Teilgebiete, oft Dreiecke, zerlegt. Über diesen Elementen werden Basisfunktionen definiert, die es erlauben, die Approximation der Lösung darzustellen. Eine Überführung der partiellen Differentialgleichung mittels einer schwachen Formulierung und unter Benutzung der Basisfunktionen erlaubt es dann, das kontinuierliche Problem in ein diskretes System umzuwandeln. Am Ende dieses Prozesses steht eine Matrix, welche die Operatoren und ihre Anwendung auf die Basisfunktionen darstellt.

Diese sogenannten Systemmatrizen reflektieren dabei zum einen die Struktur der partiellen Differentialgleichung durch die häufig vorzufindende Blockstruktur. Durch die Verwendung der FE-Methode haben diese Matrizen eine zusätzliche Struktur, in welcher ein Großteil der Matrixelemente Null ist. Daraus resultiert für die Diskretisierung des Gesamtproblems, dass eine schwachbesetzte Block-Matrix effizient invertiert oder besser gesagt ein lineares Gleichungssystem mit ihr gelöst werden muss.

Da die Mathematiker um Martin Stoll an möglichst genauen Resultaten interessiert sind, ist die Dimensionalität der Matrizen enorm groß und kann schnell in die Milliarden gehen. Bei der numerischen Lösung dieser Probleme versagen alle direkten Ansätze aufgrund der Komplexität der numerischen Verfahren. Deshalb muss die Lösung iterativ approximiert werden. Die von der Forschungsgruppe entwickelten Ansätze benutzen daher Verfahren, die mit optimaler Komplexität arbeiten. Die Matrix muss pro Iteration nur einmal verwendet werden. Die Konvergenz dieser Verfahren hängt dabei von den Eigenschaften der Systemmatrix ab; alle Methoden müssen zusätzlich mit einem Konvergenzbeschleuniger, dem Vorkonditionierer, ausgestattet werden. Dieser reflektiert die Struktur des ursprünglichen Problems, ist aber deutlich leichter zu behandeln. Viele Ansätze zur Vorkonditionierung beruhen auf strukturerhaltenden Approximationen und der Approximation einfacher Operatoren mittels sogenannter Mehrgitterverfahren. Dadurch erhält man, oft beweisbar, robuste Iterationsverfahren.

Diese Methoden können damit auch komplexe Diskretisierungen in verschiedensten Geometrien lösen. Weiterhin ermöglichen diese Verfahren, komplexe Probleme zu betrachten, so wie das im Folgenden diskutierte Inpainting.

Inpainting – Eine Anwendung in der Bildverarbeitung

<strong>Abb. 2:</strong> Beschädigtes Bild (80% der Pixel sind entfernt). Bild vergrößern
Abb. 2: Beschädigtes Bild (80% der Pixel sind entfernt).

Phasenfeldmodelle erfahren großen Zuspruch, der weit über die Werkstoffwissenschaften hinausgeht. Am Beispiel des Inpainting in der Bildverarbeitung besteht die Hauptanwendung darin, beschädigte oder fehlende Informationen in einem digitalen Bild aufzufüllen, sodass die gemachten Veränderungen von einem Betrachter nicht einfach zu erkennen sind.

Nimmt man ein grauwertiges Bild mit einem Inpainting-Gebiet, dann gilt es die fehlenden Informationen in diesem Gebiet sinnvoll zu ergänzen, ohne die Bildinformationen im nichtbeschädigten Teil zu verlieren. Abbildung 2 zeigt ein Beispiel, in welchem das Bild eines Fingerabdrucks stark verrauscht wurde und die Störung von 80% der Pixel als Beschädigung definiert wird. Abbildung 3 zeigt das Bild nach Anwendung des Inpainting-Algorithmus.

Dabei gibt es eine Vielzahl von möglichen Modellen, welche zum Inpainting genutzt werden. Bilder mit geschwungenen Linien können gut durch Ansätze basierend auf der Ginzburg-Landau Energie beschrieben werden. Dabei beschreibt diese Energie die Entwicklung der Phasengrenze und ihre verschiedenen Terme „bestrafen” dabei  Anteile mit großer Krümmung, Abweichungen von den „reinen Phasen”, den Grauwerten unseres Bildes, und Abweichungen von den nichtbeschädigten Bildteilen. All dies führt dann wiederum auf ein System von gekoppelten, nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, die mit den oben erwähnten Cahn-Hilliard Gleichungen verwandt sind.

<p><strong>Abb. 3:</strong> Inpainting mittels der Cahn-Hilliard Gleichung.</p> Bild vergrößern

Abb. 3: Inpainting mittels der Cahn-Hilliard Gleichung.

Nicht nur die Modelldimension, sondern auch die Nichtlinearitäten machen das Lösen dieser Probleme zu einer komplexen Aufgabe. Dabei kommen häufig Newton- oder verwandte Verfahren zum Einsatz. Die Modelle können dabei weiter verkompliziert werden, um bessere Resultate zu erzielen. Insbesondere das Verwenden von nichtglatten Termen innerhalb der Ginzburg-Landau Energie erfordert kompliziertere Optimierungsverfahren, welche auf komplex strukturierte Matrizen führen. Weiterhin erlaubt die Verwendung von nichtlokalen Ableitungen, genauer gesagt, fraktionalen Ableitungen, eine bessere Abbildung von heterogenen Strukturen und realistischeren Phasenübergängen. Hierbei gilt es numerische Verfahren zu entwickeln, die sowohl mit der zusätzlichen Nichtglattheit als auch den nichtlokalen Ableitungen umgehen können. Erste Erfolge sind in [4, 5] dokumentiert.

Weitere Anwendungen der Phasenfeldmethode sind in nahezu allen Wissenschaftsbereichen zu finden – von Biomembranen über Bildverarbeitung bis hin zu Materialeigenschaften von Metallen wie zum Beispiel Aluminiumfelgen. Ein vereinendes Element ist dabei die Herausforderung, effiziente Algorithmen zu entwickeln, die in vielen Fällen robuste und schnelle Verfahren für die Wissenschaft bereitstellen.

Literaturhinweise

1.
Allen, S. M.; Cahn, J. W.
A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening
DOI
2.
Blank, L.; Sarbu, L.; Stoll, M.
Preconditioning for Allen-Cahn variational inequalities with non-local constraints
DOI
3.
Bosch, J.; Stoll, M.
Preconditioning for vector-valued Cahn-Hilliard equations
DOI
4.
Bosch, J.; Kay, D.; Stoll, M.; Wathen, A. J.
Fast Solvers for Cahn-Hilliard Inpainting
DOI
5.
Bosch, J.; Stoll, M.
A fractional inpainting model based on the vector-valued Cahn-Hilliard equation
DOI
 
loading content